Te invito a revisar la siguiente presentación,la cual contiene variedad de ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales homogéneas.

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A continuación tienes una serie de videos donde se resuelven ecuaciones diferenciales homogéneas. Además de verlos y descargarlos a tu computadora,, también puedes dejar enlaces de otros videos que creas oportunos, incluso, porqué no, hasta crear tus propios videos.

TEORÍA TOMADA DE:|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

	Definición [Funciones homogéneas]
	Una función $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }$ se dice homogénea de grado si $\begin{displaymath} f(tx,ty) = t^n f(x,y) \end{displaymath}$ para todo y todo $(x,y) \in D$ .

Ejemplo

La función $f(x,y)= \frac{1}{\sqrt{x+y}}$ es homogéénea de grado $\frac{1}{2}$ .
Las funciones $f(x,y)=e{\frac{x}{y} }$ , $f(x,y)= \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ , $f(x,y)=\frac{x}{2x+y}$ son homogéneas de grado 0.
Las funciones , , son homogéneas de grado 2.

Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.

	Definición [Ecuación diferencial homogénea]
	Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, $y^{\prime} = f(x,y)$ , es homogénea si la función es homogénea de orden cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

$\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}$

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes

son funciones homogéneos del mismo grado.

	Teorema
	Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden $\begin{displaymath} y^{\prime} = f(x,y) \end{displaymath}$ es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos

$\begin{displaymath} x u^{\prime} + u = f(x, x u) \end{displaymath}$

Pero como

es una función homogénea de grado cero tenemos que

$\begin{displaymath} x \frac{du}{dx} + u = x^0 f(1,u) \end{displaymath}$

de donde

$\begin{displaymath} x \frac{du}{dx} = f(1,u) - u \Rightarrow \frac{du}{f(1,u) - u} = \frac{dx}{x} \end{displaymath}$

la cual es separable, como se quería.

Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial

$\begin{displaymath} \left(x^2 + y^2 \right) dx + xy dy = 0 \end{displaymath}$

La ecuación diferencial es homogénea pues

son homogéneas de grado dos

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} M(tx,ty) & = & \left(t x \right)^2 + \l... ...\right) = t^2 \left( xy \right) = t^2 N(x,y) \\ \end{array} \end{displaymath}$

Haciendo la sustitución

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left(x^2 + \left(u x \right)^2 \right)... ... dx + \frac{u}{1 + 2 u^2} du \right) & = & 0 \\ \end{array} \end{displaymath}$

de donde

$\begin{displaymath} \frac{1}{x} dx + \frac{u}{1 + 2 u^2} du =0 \end{displaymath}$

Integrando y volviendo a las variables

obtenemos

$\begin{displaymath} Ln \mid x \mid + \frac{1}{4} Ln \mid 1 + 2 \left(\frac{y}{x} \right)^2 \mid = c \Rightarrow x^4 + 2 x^2 y^2 = c \end{displaymath}$

Note que

es una solución singular de la ecuación diferencial dada.

Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma

$\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}$

conviene más rescribirla en la forma

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \end{displaymath}$

y aplicar quí el cambio de variable

.
Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial

$\begin{displaymath} x y^{\prime} = \sqrt{x^2 - y^2 } + y \end{displaymath}$

Factorizando

$\begin{displaymath} y^{\prime} = \sqrt{1 - \left( \frac{y}{x} \right)^2} + \frac{y}{x} \end{displaymath}$

Haciendo la sustitución

$\begin{displaymath} \frac{du}{\sqrt{1- u^2}} = \frac{dx}{x} \end{displaymath}$

Integrando

$\begin{displaymath} ArcSen(u) = Ln \mid x \mid + Ln \mid c \mid \end{displaymath}$

Y despejando

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} & \Rightarrow & arcsen\left( \frac{y}{x... ...& y = Sen \left(Ln \left( cx \right) \right) \\ \end{array} \end{displaymath}$

Observación: al dividir por el factor $x \sqrt{1 - u^2}$ se pudo haber perdido algunas soluciones, pero

no es solución y $1 - \frac{x^2}{y^2} =0 \Rightarrow y = \pm x$ que son soluciones singulares.
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

$\left( 2x + 3y \right) dx + \left(y - x \right) = 0$
$y^{\prime} = \frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2}$
$y^{\prime} = Sen\left( \frac{y}{x} \right)$
$\left( x^4 + y^4 \right) dx - 2x^3 dy =0$
$\left( \sqrt{x + y} + \sqrt{x - y} \right) dx + \left(\sqrt{x - y} + \sqrt{x + y} \right) dy = 0$
$\left( y + \sqrt{x^2 + y^2 } \right) dx - x dy = 0$
$\left( xy + y^2 + x^2 \right) dx - x^2 dy = 0$